Лекции по аналитической геометрии и линейной алгебре, 2 семестр

Репин О.Н., под редакцией Зайцева Ю.В. 28 июля 2005 г.

Аннотация

Данные лекции читались на радиофизическом факультете ННГУ им. Лобачевского во втором семестре 2004–2005 учебного года.

…

Содержание

Введение 4

Лекция 1 (17.02.05) 5 1.1 Предварительные сведения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2 Матрицы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.2.1 Общие сведения о матрицах (?) . . . . . . . . . . . . . . 6 1.2.2 Свойства определителей матриц . . . . . . . . . . . . . 7

Лекция 2 (24.02.05) 10 2.1 Разложение определителя по строкам (столбцам) . . . . . . . 10 2.2 Вычисление определителей (примеры) . . . . . . . . . . . . . . 12

Введение

Предметом данных лекций …

Лекция 1 (17.02.05)

1.1 Предварительные сведения

Пусть A = {a_{1}, a_{2}, … a_{n}} — числовое n-элементное множество. Определение. Перестановкой (Π) назовем упорядоченный набор элементов множества A. Пример.

\begin{aligned}A & = & (1, 3, 5, 7) \\ Π_{1} & = & (3, 1, 7, 5) \\ Π_{2} & = & (5, 7, 1, 3) \end{aligned}

Теорема 1.1 (о числе перестановок). Число перестановок P_{n} n-эле-ментного множества A вычисляется по формуле P_{n} = n!.

Доказательство. Воспользуемся методом математической индукции:

1. При n = 1 утверждение очевидно.

2. Положим теперь, что при n = k P_{k} = k!.

3. Покажем, что для n = k + 1 выполняется тождество P_{k+1} = (k + 1)!. Действительно,

P_{k+1} = \underbrace{k! + k! + … k!}_{k + 1 раз} = (k + 1)!

Определение. Если в перестановке Π a_{i} > a_{j} для некоторых i < j, то (a_{i}, a_{j}) образует инверсию. Пример. В перестановке Π = (3, 2, 1, 5, 4) есть следующие инверсии:

(3, 2); (3, 1); (2, 1); (5, 4)

Следовательно, число инверсий I(Π) = 4. Пример. I(5, 3, 4, 1, 2) = 4 + 2 + 2 = 8. Определение. Если число инверсий в перестановке I(Π) – четно (нечетно), то перестановка Π называется четной (нечетной). Определение. Транспозицией назовем перемену местами двух чисел в перестановке.

Теорема 1.2 (о транспозиции). Каждая транспозиция меняет четность перестановки.

Доказательство. Рассмотрим вначале случай ”соседней“ транспозиции:

\begin{aligned}Π_{1} & = & a_{1}, …, a_{i}, a_{i+1}, …, a_{n} \\ Π_{2} & = & a_{1}, …, a_{i+1}, a_{i}, …, a_{n} & . \end{aligned}

Очевидно, что если a_{i} < a_{i+1}, то I(Π_{2}) = I(Π_{1})+1, а в случае, если a_{i} > a_{i+1} — I(Π_{2}) = I(Π_{1}) − 1.

Теперь рассмотрим случай произвольной транспозиции:

\begin{aligned}Π_{1} & = & a_{1}, …, a_{i}, a_{i+1}, …, a_{i+m}, …, a_{n} \\ Π_{2} & = & a_{1}, …, a_{i+m}, a_{i}, …, a_{i}, …, a_{n} & . \end{aligned}

Нетрудно заметить, что перестановка Π_{2} получается из Π_{1} с помощью 2m − 1 (нечетного числа!) соседних транспозиций, каждая из которых меняет четность исходной перестановки Π_{1}. Теорема доказана. Определение. Подстановкой (Π_{0}) назовем взаимооднозначное отображение числового множества A на себя.

Π_{0} : φ = \{ \begin{matrix}a_{1}, & a_{2}, & … & a_{n} \\ φ(a_{1}), & φ(a_{2}), & … & φ(a_{n}) \end{matrix} \}

Отметим, что число различных подстановок для можества A = (a_{1}, a_{2}, …, a_{n}) будет n!. Пример. Пусть дано множество A = (1, 2, 3, 4, 5). Тогда одной из его подстановок, будет, например, следующая:

φ_{1} = \{ \begin{matrix}1, & 2, & 3, & 4, & 5 \\ 5, & 2, & 4, & 3, & 1 \end{matrix} \}

Определение. Подстановка Π_{0} называется четной (нечетной), если число инверсий во 2-ой строке четно (нечетно).

Теорема 1.3. Для некоторого множества A = (a_{1}, a_{2}, …, a_{n}) число четных подстановок равно числу нечетных подстановок и, в свою очередь, равно \frac{n!}{2}.

Доказательство. Справедливость теоремы полностью следует из теоремы 1.2.

1.2 Матрицы

1.2.1 Общие сведения о матрицах (?)

Определение. Матрицей назовем множество m × n элементов, расположенных в виде таблицы. Пример.

A = ( \begin{matrix}a_{11} & a_{12} & … & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & … & a_{2n} \\ ⋮ & ⋮ & ... & ⋮ \\ a_{m1} & a_{m2} & … & a_{mn} \end{matrix} )

Определение. Обозначим за P_{m×n} множество матриц размера m × n. Определение. Матрица m × n называется квадратной, если m = n. Определение. Для заданной матрицы A ∈ P_{m×n}, матрица A^{T} называется транспонированной, если она построена следующим образом:

A^{T} = ( \begin{matrix}a_{11} & a_{21} & … & a_{m1} \\ a_{12} & a_{22} & … & a_{m2} \\ ⋮ & ⋮ & ... & ⋮ \\ a_{1n} & a_{2n} & … & a_{mn} \end{matrix} )

Определение. Квадратная матрица называется диагональной, если она имеет вид:

A = ( \begin{matrix}a_{11} & 0 & … & 0 \\ 0 & a_{22} & … & 0 \\ ⋮ & ⋮ & ... & ⋮ \\ 0 & 0 & … & a_{nn} \end{matrix} )

Определение. Единичную матрицу E определим следующим образом:

E = ( \begin{matrix}1 & 0 & … & 0 \\ 0 & 1 & … & 0 \\ ⋮ & ⋮ & ... & ⋮ \\ 0 & 0 & … & 1 \end{matrix} )

Определение. Пусть дана квадратная матрица A ∈ P_{n×n}. Определителем такой матрицы назовем число

det A = |A| = ∑ \underbrace{(−1)^{s}a_{1i_{1}}a_{2i_{2}} … a_{ni_{n}}}_{общий член определителя A} = ∑ (−1)^{r}a_{j_{1}1}a_{j_{2}2} … a_{j_{n}n},

где

\begin{matrix}s = I(i_{1}, i_{2}, …, i_{n}) \\ r = I(j_{1}, j_{2}, …, j_{n}), \end{matrix}

при этом, суммирование ведется либо по всем возможным перестановкам (i_{1}, i_{2}, …, i_{n}), либо (j_{1}, j_{2}, …, j_{n}). Пример. Рассмотрим случай n = 2. Пусть

A = ( \begin{matrix}a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{matrix} ) ,

тогда det A = a_{11}a_{22} − a_{12}a_{21}. Для n = 3,

A = ( \begin{matrix}a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{matrix} ) , и, соответственно,

det A = a_{11}a_{22}a_{33} + a_{12}a_{23}a_{31} + a_{13}a_{21}a_{32} − a_{11}a_{23}a_{32} − a_{12}a_{21}a_{33} − a_{13}a_{22}a_{31}.

1.2.2 Свойства определителей матриц

1. det A = det A^{T}, т.е. свойства матриц, справедливые для строк A остаются верными и для столбцов.

2. Если матрица A содержит строку, состоящую из нулей, то det A = 0.

3. Если матрица B получена из A перестановкой двух строк, то det B = − det A.

4. Если в матрице A есть две одинаковых строки, то det A = 0.

5. Определитель обладает свойством линейности, т.е.

\begin{matrix}| \begin{matrix}a_{11} & … & a_{1n} \\ ⋮ & ⋯ & ⋮ \\ αb_{k1} + βc_{k1} & … & αb_{kn} + βc_{kn} \\ ⋮ & ⋯ & ⋮ \\ a_{n1} & … & a_{nn} \end{matrix} | = \\ = α | \begin{matrix}a_{11} & … & a_{1n} \\ ⋮ & ⋯ & ⋮ \\ b_{k1} & … & b_{kn} \\ ⋮ & ⋯ & ⋮ \\ a_{n1} & … & a_{nn} \end{matrix} | + β | \begin{matrix}a_{11} & … & a_{1n} \\ ⋮ & ⋯ & ⋮ \\ c_{k1} & … & c_{kn} \\ ⋮ & ⋯ & ⋮ \\ a_{n1} & … & a_{nn} \end{matrix} | \end{matrix}

6. Если в матрице A какая-либо строка является линейной комбинацией других строк, то det A = 0.

7. det A не изменится, если в матрице A к какой-либо строке прибавить линейную комбинацию других строк.

Доказательство. Свойства 1 и 2 с очевидностью следуют из данных определений.

3. Пусть определены матрицы A и B:

A = ( \begin{matrix}a_{11} & a_{12} & … & a_{1n} \\ ⋮ & ⋯ & ⋯ & ⋮ \\ a_{k1} & a_{k2} & … & a_{kn} \\ ⋮ & ⋯ & ⋯ & ⋮ \\ a_{l1} & a_{l2} & … & a_{ln} \\ ⋮ & ⋯ & ... & ⋮ \\ a_{n1} & a_{n2} & … & a_{nn} \end{matrix} ) , B = ( \begin{matrix}a_{11} & a_{12} & … & a_{1n} \\ ⋮ & ⋯ & ⋯ & ⋮ \\ a_{l1} & a_{l2} & … & a_{ln} \\ ⋮ & ⋯ & ⋯ & ⋮ \\ a_{k1} & a_{k2} & … & a_{kn} \\ ⋮ & ⋯ & ... & ⋮ \\ a_{n1} & a_{n2} & … & a_{nn} \end{matrix} ) .

Тогда

\begin{matrix}det A = ∑ (−1)^{s}a_{1i_{1}} … a_{ki_{k}} … a_{li_{l}} … a_{ni_{n}} = \\ = ∑ − (−1)^{s}a_{1i_{1}} … a_{li_{l}} … a_{ki_{k}} … a_{ni_{n}} = − det B, \end{matrix}

и т. к., по доказанной теореме, I(i_{1}, …, i_{k}, …, i_{l}, …, i_{n}) четно, если I(i_{1}, …, i_{l}, …, i_{k}, …, i_{n}) нечетно и, соответственно, наоборот.

4. Непосредственно воспользуемся свойством 3, т.е. поменяем местами те самые две одинаковых строки. Но тогда, т.к. получившаяся в результате перестановки строк матрица B = A,

det B = − det A = det A ⇒ 2 det A = 0 ⇒ det A = 0.

5. Воспользуемся определением определителя матрицы:

\begin{matrix}∑ (−1)^{s}a_{1i_{1}} … (αb_{ki_{k}} + βc_{ki_{k}}) … a_{ni_{n}} = \\ = α ∑ (−1)^{s}a_{1i_{1}} … b_{ki_{k}} … a_{ni_{n}} + β ∑ (−1)^{s}a_{1i_{1}} … c_{ki_{k}} … a_{ni_{n}}. \end{matrix}

6. Следует из свойства 5.

7. Следует из свойства 6.

Определение. Пусть A ∈ P_{n×n}. Минором элемента a_{ij} – M_{ij} назовем определитель матрицы, полученной из A вычеркиванием i-ой строки и j-го столбца. Определение. Алгебраическим дополнением к элементу a_{ij} назовем A_{ij} = (−1)^{i+j}M_{ij}. Пример. Найдем минор и алгебраическое дополнение для элемента a_{12} для заданной матрицы A.

A = ( \begin{matrix}a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{matrix} )

M_{12} = | \begin{matrix}a_{21} & a_{23} \\ a_{31} & a_{33} \end{matrix} |; A_{12} = (−1)^{(1+2)}M_{12} = −M_{12}.

Лекция 2 (24.02.05)

2.1 Разложение определителя по строкам (столбцам)

Теорема 2.1 (первая теорема о разложении). Пусть в A ∈ P_{n×n} — все элементы, находящиеся на i-ой строке или в j-ом столбце равны нулю, кроме самого элемента, находящегося на пересечении i-ой строки и j-го столбца. Тогда det A = a_{ij}A_{ij}.

Доказательство. Рассмотрим сначала случай, когда выбранный элемент a_{ij} находится в правом нижнем углу матрицы A, т.е. i = j = n.

A = ( \begin{matrix}a_{11} & a_{12} & … & a_{1n−1} & 0 \\ ⋮ & ⋮ & ⋯ & ⋮ & 0 \\ a_{n−11} & a_{n−12} & … & a_{n−1n−1} & 0 \\ 0 & 0 & … & 0 & a_{nn} \end{matrix} )

\begin{matrix}det A = ∑(−1)^{s}a_{1i_{1}} … a_{n−1i_{n−1}}a_{ni_{n}} = \\ = (−1)^{s}a_{1i_{1}} … a_{n−1i_{n−1}}a_{nn} = (−1)^{n+n}a_{nn}M_{nn} = a_{nn}A_{nn} \end{matrix}

Теперь обобщим доказательство на случай произвольных i и j. Рассмотрим матрицу A:

A = ( \begin{matrix}a_{11} & a_{12} & … & 0 & … & a_{1n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋯ & ⋮ & ⋯ & ⋮ \\ 0 & 0 & … & a_{ij} & ⋯ & 0 \\ ⋮ & ⋮ & ⋯ & ⋮ & ... & ⋮ \\ a_{n1} & a_{n2} & … & 0 & … & a_{nn} \end{matrix} ) .

Элемент a_{ij} можно переместить на позицию (n, n) при помощи n − i транспозиций по вертикали и n − j транспозиций по горизонтали. Следовательно, из предыдущего утверждения,

\begin{matrix}det A = (−1)^{(n−i)+(n−j)}a_{ij}M_{ij} = \\ = (−1)^{2(n−i−j)+(i+j)}a_{ij}M_{ij} = (−1)^{i+j}a_{ij}M_{ij} = a_{ij}A_{ij}. \end{matrix}

Теорема доказана.

Теорема 2.2 (вторая теорема о разложении). Пусть A ∈ P_{n×n}. Тогда определитель этой матрицы можно вычислить по формуле:

det A = ∑_{j=1}^{n} a_{ij}A_{ij}.

Доказательство. Рассмотрим определитель матрицы A:

det A = | \begin{matrix}a_{11} & … & a_{1j} & … & a_{1n} \\ ⋮ & ⋯ & ⋮ & ⋯ & ⋮ \\ a_{i1} & … & a_{ij} & … & a_{in} \\ ⋮ & ⋯ & ⋮ & ... & ⋮ \\ a_{n1} & … & a_{nj} & … & a_{nn} \end{matrix} | = | \begin{matrix}a_{11} & … & a_{1j} & … & a_{1n} \\ ⋮ & ⋯ & ⋮ & ⋯ & ⋮ \\ a_{i1} & … & 0 & … & 0 \\ ⋮ & ⋯ & ⋮ & ... & ⋮ \\ a_{n1} & … & a_{nj} & … & a_{nn} \end{matrix} | +

+ … + | \begin{matrix}a_{11} & … & a_{1j} & … & a_{1n} \\ ⋮ & ⋯ & ⋮ & ⋯ & ⋮ \\ 0 & … & a_{ij} & … & 0 \\ ⋮ & ⋯ & ⋮ & ... & ⋮ \\ a_{n1} & … & a_{nj} & … & a_{nn} \end{matrix} | + … + | \begin{matrix}a_{11} & … & a_{1j} & … & a_{1n} \\ ⋮ & ⋯ & ⋮ & ⋯ & ⋮ \\ 0 & … & 0 & … & a_{1n} \\ ⋮ & ⋯ & ⋮ & ... & ⋮ \\ a_{n1} & … & a_{nj} & … & a_{nn} \end{matrix} | =

= a_{i1}A_{i1} + … + a_{ij}A_{ij} + … + a_{in}A_{in} = ∑_{j=1}^{n} a_{ij}A_{ij}.

Следствие. det A = ∑_{i=1}^{n} a_{ij}A_{ij} (разложение матрицы по j-му столбцу).

Определение. Пусть в матрице A ∈ P_{n×n} выделены строки i_{1}, i_{2}, …, i_{k} и столбцы j_{1}, j_{2}, …, j_{k}. Тогда минором k-ого порядка m_{j_{1},j_{2},...,j_{k}}^{i_{1},i_{2},...,i_{k}} называется определитель матрицы из перечеркнутых элементов. Дополнительным минором k-ого порядка M_{j_{1},j_{2},...,j_{k}}^{i_{1},i_{2},...,i_{k}} называется определитель матрицы, составленной из оставшихся элементов. Алгебраическим дополнением к минору m_{j_{1},j_{2},...,j_{k}}^{i_{1},i_{2},...,i_{k}} называется число, вычисляемое по следующей формуле:

A_{j_{1},j_{2},...,j_{k}}^{i_{1},i_{2},...,i_{k}} = (−1)^{i_{1}+...+i_{k}+j_{1}+...+i_{k}}m_{j_{1},j_{2},...,j_{k}}^{i_{1},i_{2},...,i_{k}}.

Пример.

A = ( \begin{matrix}a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{24} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{34} \\ a_{41} & a_{42} & a_{43} & a_{44} \end{matrix} )

m_{23}^{13} = | \begin{matrix}a_{12} & a_{13} \\ a_{32} & a_{33} \end{matrix} |; M_{23}^{13} = | \begin{matrix}a_{21} & a_{24} \\ a_{41} & a_{44} \end{matrix} |

A_{23}^{13} = (−1)^{1+3+2+3}m_{23}^{13} = (−1) | \begin{matrix}a_{12} & a_{13} \\ a_{32} & a_{33} \end{matrix} |

Теорема 2.3 (теорема Лапласа). Пусть дана матрица A ∈ P_{n×n}. Тогда

det A = ∑ M_{j_{1},j_{2},...,j_{k}}^{i_{1},i_{2},...,i_{k}}A_{j_{1},j_{2},...,j_{k}}^{i_{1},i_{2},...,i_{k}},??? тут ведь M, а не m? в лекции m

где сумма ведется по всевозможным выборкам (j_{1}, j_{2}, …, j_{k}) из множества {1, 2, …, n}.

Без доказательства. Пример. Рассмотрим т.н. блочную матрицу D:

D = ( \begin{matrix}a_{11} & … & a_{1n} & 0 & … & 0 \\ ⋮ & ⋯ & ⋮ & 0 & ⋯ & 0 \\ a_{n1} & … & a_{nn} & 0 & … & 0 \\ b_{11} & … & b_{1n} & c_{11} & … & c_{1n} \\ ⋮ & ⋯ & ⋮ & ⋮ & ⋯ & ⋮ \\ b_{n1} & … & b_{nn} & c_{n1} & … & c_{nn} \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}A & 0 \\ B & C \end{matrix} ) .

Разложение её по первым n строкам даёт следующее тождество: |D| = |A||C|. С другой стороны, разложение по строкам n+1, n+2, …, 2n даёт для определителя D другое выражение:

|D| = (−1)^{1+2+...+n+(n+1)+...+2n}|B||C| = (−1)^{\frac{(2n+1)2n}{2}} |B||C| = (−1)^{n}|B||C|.

2.2 Вычисление определителей (примеры)

1. Определитель треугольной матрицы.

det A = | \begin{matrix}a_{11} & a_{12} & … & a_{1n} \\ 0 & a_{22} & … & a_{2n} \\ 0 & 0 & ... & ⋮ \\ 0 & 0 & … & a_{nn} \end{matrix} | = a_{11}a_{22} … a_{nn}

2. Метод приведения симметричной матрицы к треугольной. Рассмотрим симметричную матрицу Δ_{n}:

Δ_{n} = | \begin{matrix}a & b & b & … & b \\ b & a & b & … & b \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ... & b \\ b & b & b & … & a \end{matrix} | .

Прибавим к первому столбцу остальные:

Δ_{n} = | \begin{matrix}a + (n − 1)b & b & … & b \\ a + (n − 1)b & a & … & b \\ ⋮ & ⋮ & ... & ⋮ \\ a + (n − 1)b & b & … & a \end{matrix} | = (a + (n − 1)b) | \begin{matrix}1 & b & … & b \\ 1 & a & … & b \\ ⋮ & ⋮ & ... & ⋮ \\ 1 & b & … & a \end{matrix} |

Далее вычтем из 2-ой строки 3-ю и т.д., причем из последней строки вычтем первую. Получим:

Δ_{n} = (a + (n − 1)b) | \begin{matrix}1 & b & … & b \\ 0 & a − b & … & 0 \\ ⋮ & ⋮ & ... & ⋮ \\ 0 & 0 & … & a − b \end{matrix} | = (a + (n − 1)b)(a − b)^{n−1}.

3. Метод рекуррентных соотношений.