\newpage

\mysection{Лекция 2 (24.02.05)}

% ***********************************************************************
\subsection{Разложение определителя по строкам (столбцам)}
% ***********************************************************************

\begin{trm}[первая теорема о разложении]
Пусть в ${A \in {\cal P}_{n \times n}}$ --- все элементы, находящиеся на  $i$-ой строке или в $j$-ом столбце равны нулю, кроме самого элемента, находящегося на пересечении $i$-ой строки и $j$-го столбца. Тогда $\det A = a_{ij} A_{ij}$.
\end{trm}

\tprf Рассмотрим сначала случай, когда выбранный элемент $a_{ij}$ находится в правом нижнем углу матрицы~ $A$, т.е.~ ${i =j = n}$.
$$
A = \left (
\begin{array}{ccccc}
	a_{11}     & a_{12}	& \dots  & a_{1{n-1}}     & 0	\\
	\vdots     & \vdots	& \cdots & \vdots         & 0	\\
	a_{{n-1}1} & a_{{n-1}2}	& \dots  & a_{{n-1}{n-1}} & 0	\\
	0          & 0          & \dots  & 0              & a_{nn} \\
\end{array}
\right )
$$
$$
\begin{array}{l}
	\det A = \sum (-1)^s a_{1 i_1} \dots a_{{n-1} i_{n-1}} a_{n i_{n}} =  \\
	\phantom{\det A}  =  { \mathstrut (-1)^s a_{1 i_1} \dots a_{{n-1} i_{n-1}} a_{n n}  = (-1)^{n + n} a_{n n} M_{n n} = a_{n n} A_{n n} } \\
\end{array}
$$
Теперь обобщим доказательство на случай	произвольных $i$ и $j$. Рассмотрим матрицу~ $A$:
$$
A = \left (
\begin{array}{cccccc}
	a_{1 1} & a_{1 2} & \dots  & 0       & \dots  & a_{1 n} \\
	\vdots	& \vdots  & \cdots & \vdots  & \cdots & \vdots  \\
	0       & 0       & \dots  & a_{i j} & \cdots & 0	\\
	\vdots	& \vdots  & \cdots & \vdots  & \ddots & \vdots  \\
	a_{n 1}	& a_{n 2} & \dots  & 0       & \dots  & a_{n n} \\
\end{array}
\right )
.
$$
Элемент $a_{ij}$ можно переместить на позицию $(n, n)$ при помощи ${n-i}$ транспозиций  по вертикали и ${n-j}$ транспозиций по горизонтали. Следовательно, из предыдущего утверждения,
$$
\begin{array}{l}
	\det A  =  (-1)^{(n-i) + (n-j)} a_{ij} M_{ij} = \\
	\phantom{\det A }  =  (-1)^{2(n -i -j) + (i+j)} a_{ij} M_{ij} = (-1)^{i+j} a_{ij} M_{ij} = a_{ij} A_{ij} .\\
\end{array}
$$
Теорема доказана.

\begin{trm}[вторая теорема о разложении]
Пусть ${A \in {\cal P}_{n \times n}}$. Тогда определитель этой матрицы можно вычислить по фор\-му\-ле:
$$
\det A = \sum_{j=1}^{n} a_{ij} A_{ij} .
$$
\end{trm}

\tprf Рассмотрим определитель матрицы $A$:
$$
\begin{array}{l}
\det A = \left \vert 
	\begin{array}{ccccc}
		a_{11} & \dots  & a_{1j} & \dots  & a_{1n} \\
		\vdots & \cdots & \vdots & \cdots & \vdots \\
		a_{i1} & \dots  & a_{ij} & \dots  & a_{in} \\
		\vdots & \cdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
		a_{n1} & \dots  & a_{nj} & \dots  & a_{nn} \\
	\end{array}
\right \vert
=
\left \vert 
	\begin{array}{ccccc}
		a_{11} & \dots  & a_{1j} & \dots  & a_{1n} \\
		\vdots & \cdots & \vdots & \cdots & \vdots \\
		a_{i1} & \dots  & 0 	 & \dots  & 0 \\
		\vdots & \cdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
		a_{n1} & \dots  & a_{nj} & \dots  & a_{nn} \\
	\end{array}
\right \vert
+ \\
\smallskip \\
\quad {} + \dots + 
\left \vert 
	\begin{array}{ccccc}
		a_{11} & \dots  & a_{1j} & \dots  & a_{1n} \\
		\vdots & \cdots & \vdots & \cdots & \vdots \\
		0 	   & \dots  & a_{ij} & \dots  & 0 \\
		\vdots & \cdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
		a_{n1} & \dots  & a_{nj} & \dots  & a_{nn} \\
	\end{array}
\right \vert
+ \dots + 
\left \vert
	\begin{array}{ccccc}
		a_{11} & \dots  & a_{1j} & \dots  & a_{1n} \\
		\vdots & \cdots & \vdots & \cdots & \vdots \\
		0 	   & \dots  & 0		 & \dots  & a_{1n} \\
		\vdots & \cdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
		a_{n1} & \dots  & a_{nj} & \dots  & a_{nn} \\
	\end{array}
\right \vert
= 
\\
\smallskip \\
\quad \phantom{+ \dots } = a_{i1} A_{i1} + \dots + a_{ij} A_{ij} +
\dots + a_{in} A_{in} = \sum \limits _{j=1}^{n} a_{ij} A_{ij} .
\\
\end{array}
$$
\tdrv $\det A = \sum \limits _{i=1}^{n} a_{ij} A_{ij}$ (разложение матрицы по $j$-му столбцу).

\tdef Пусть в матрице ${A \in {\cal P}_{n \times n}}$ выделены строки
$i_{1},i_{2},\dots,i_{k}$ и столбцы $j_{1},j_{2},\dots,j_{k}$. 
Тогда \ti{минором $k$-ого порядка}
$m_{j_{1},j_{2},\dots,j_{k}}^{i_{1},i_{2},\dots,i_{k}}$
называется определитель матрицы из перечеркнутых элементов.
\ti{Дополнительным минором $k$-ого порядка}
$M_{j_{1},j_{2},\dots,j_{k}}^{i_{1},i_{2},\dots,i_{k}}$
называется определитель матрицы, составленной из оставшихся элементов.
\ti{Алгебраическим дополнением} к минору
$m_{j_{1},j_{2},\dots,j_{k}}^{i_{1},i_{2},\dots,i_{k}}$
называется число, вычисляемое по следующей формуле:
$$
A_{j_{1},j_{2},\dots,j_{k}}^{i_{1},i_{2},\dots,i_{k}}
= (-1) ^ {i_{1} + \dots + i_{k} + j_{1} + \dots + i_{k}}  m_{j_{1},j_{2},\dots,j_{k}}^{i_{1},i_{2},\dots,i_{k}}
.
$$
\txmp
$$
A = \left( 
	\begin{array}{cccc}
		a_{11} 	& a_{12} & a_{13} & a_{14} \\
		a_{21} 	& a_{22} & a_{23} & a_{24} \\
		a_{31} 	& a_{32} & a_{33} & a_{34} \\
		a_{41} 	& a_{42} & a_{43} & a_{44} \\
	\end{array}
\right)
$$
$$
m_{23}^{13} = \left \vert 
	\begin{array}{cc}
		a_{12} & a_{13} \\
		a_{32} & a_{33} \\
	\end{array}
\right \vert
; \quad
M_{23}^{13} = \left \vert 
	\begin{array}{cc}
		a_{21} & a_{24} \\
		a_{41} & a_{44} \\
	\end{array}
\right \vert
$$
$$
A_{23}^{13} = (-1)^{1+3+2+3} m_{23}^{13} = (-1) \left \vert 
	\begin{array}{cc}
		a_{12} & a_{13} \\
		a_{32} & a_{33} \\
	\end{array}
\right \vert
$$

\begin{trm}[теорема Лапласа]
Пусть дана матрица ${A \in {\cal P}_{n \times n}}$. Тогда
$$
\det A = \sum M_{j_{1},j_{2},\dots,j_{k}}^{i_{1},i_{2},\dots,i_{k}} A_{j_{1},j_{2},\dots,j_{k}}^{i_{1},i_{2},\dots,i_{k}}
, 
% ZYV: вопрос
\mbox{??? тут ведь M, \linebreak а не m? в лекции m}
$$
где сумма ведется по всевозможным выборкам $(j_{1},j_{2},\dots,j_{k})$ из множества $\{1,2,\dots,n\}$.
\end{trm}
\tnoprf
\txmp Рассмотрим т.н. блочную матрицу $D$:
$$
D = \left (
	\begin{array}{cccccc}
		a_{11} & \dots  & a_{1n} & 0 	  & \dots  & 0 		\pdots \\
		\vdots & \cdots & \vdots & 0 	  & \cdots & 0 		\\
		a_{n1} & \dots  & a_{nn} & 0 	  & \dots  & 0 		\pdots \\
		b_{11} & \dots  & b_{1n} & c_{11} & \dots  & c_{1n} \pdots \\
		\vdots & \cdots & \vdots & \vdots & \cdots & \vdots \\
		b_{n1} & \dots  & b_{nn} & c_{n1} & \dots  & c_{nn} \\
	\end{array}
\right )
=
\left (
	\begin{array}{cc}
		A & 0 \\
		B & C \\
	\end{array}
\right )
.
$$
Разложение её по первым $n$ строкам даёт следующее тождество:
${\vert D \vert = \vert A \vert \vert C \vert}$. 
С другой стороны, разложение по строкам $n+1, n+2, \dots, 2n$ даёт для определителя $D$ другое выражение:
$$
\vert D \vert = (-1) ^ {1 + 2 + \dots + n + (n + 1) + \dots + 2n} 
\vert B \vert \vert C \vert =
(-1)^{\frac{(2n+1)2n}{2}} \vert B \vert \vert C \vert =
(-1)^{n} \vert B \vert \vert C \vert
.
$$ 

% ***********************************************************************
\subsection{Вычисление определителей (примеры)}
% ***********************************************************************

\begin{enumerate}
\item Определитель треугольной матрицы.
$$
\det A = \left \vert 
	\begin{array}{cccc}
		a_{11} 	& a_{12} & \dots  & a_{1n}  \pdots \\
		0		& a_{22} & \dots  & a_{2n}  \pdots \\
		0		& 0 	 & \ddots & \vdots \\	
		0		& 0 	 & \dots  & a_{nn} \\	
\end{array}
\right \vert =
a_{11} a_{22} \dots a_{nn}
$$
\item Метод приведения симметричной матрицы к треугольной. 
Рассмотрим симметричную матрицу $\Delta_n$:
$$
\Delta_n = \left \vert
	\begin{array}{ccccc}
	a & b & b & \dots & b \\
	b & a & b & \dots & b \\
	\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & b \\
	b & b & b & \dots & a \\
	\end{array}
\right \vert
.
$$
Прибавим к первому столбцу остальные:
$$
\Delta_n =
\left \vert
	\begin{array}{cccc}
		a + (n-1)b & b 	& \dots & b \\
		a + (n-1)b & a 	& \dots & b \\
		\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
		a + (n-1)b & b 	& \dots & a \\
	\end{array}
\right \vert
=
(a + (n-1)b)
\left \vert
	\begin{array}{cccc}
		1 		& b 	& \dots & b \\
		1 		& a 	& \dots & b \\
		\vdots 	& \vdots & \ddots & \vdots \\
		1 		& b 	& \dots & a \\
	\end{array}
\right \vert
$$
Далее вычтем из 2-ой строки 3-ю и т.д., причем из последней строки вычтем первую. Получим:
$$
\Delta_n =
(a + (n-1)b)
\left \vert
	\begin{array}{cccc}
		1 		& b 	 & \dots  & b 		\\
		0 		& a - b  & \dots  & 0 		\\
		\vdots 	& \vdots & \ddots & \vdots 	\\
		0 		& 0 	 & \dots  & a -b 	\\
	\end{array}
\right \vert
=
(a + (n-1)b) (a - b) ^{n-1}
.
$$
\item Метод рекуррентных соотношений.
\end{enumerate}