%\documentstyle{report}
%\documentclass{report }

%\usepackage[cp866]{inputenc}
%\usepackage[cp1251]{inputenc}

%\usepackage[russian]{babel}
%\usepackage[LCY]{fontenc}
%\usepackage{graphicx,mybib,russian}
%\newcommand{\<<}{\lfq}
\documentclass[12pt,a4paper]{article}
%\usepackage[cp866]{inputenc}
\usepackage{pscyr}
\usepackage[cp1251]{inputenc}

\usepackage[russian]{babel}
%\usepackage[LCY]{fontenc}
%\usepackage{graphicx,mybib,russian}
%\newcommand{\<<}{\lfq}
\textheight 22cm \textwidth 16cm \topmargin 0cm \oddsidemargin 0cm \evensidemargin 0cm
%\twocolumn
%\oddsidemargin =-2cm
%\topmargin -3cm
%\textheight=27cm
%\textwidth=17cm
\pagestyle{empty}
\begin{document}

{\footnotesize
 Лекция 14.

Системы дифференциальных уравнений. Задача Коши.
Задача Коши в общем случае заключается в нахождении решения
системы уравнений с условиями
$$
\left\{
\begin{array}{l}
 \frac{du_k}{dt}=f_k(t,u_1,...,u_n), \\ t\in [0,T],  f_k\in C_G,
 u_k(0)=u_k^0, \\ G=\{ t,u_1,...,u_n):t\in [0,T],\\ |u_k-u_k^0|\le U \},k=\overline{1,N} \\
\end{array}
\right.
$$
Решение которой на сетке $\omega_n=\{t_i,t_i=i\tau,i=\overline{0,n} \tau=T/n\}$
 эквивалентно решению системы интегральных уравнений
$$
\left\{
\begin{array}{l}
u_k(t_{i+1})=u(t_i)=\int_{t_i}^{t_{i+1}}f_k(t,u_1(t),...,u_n(t))dt\\
k=\overline{1,N},i=\overline{0,n-1}\\
u_k(0)=u_k^0\\
\end{array}
\right.
$$
Заменяя вычисление интеграла в этой системе квадратурной формулой будем иметь
алгоритм для решения задачи Коши
$$
\left\{
\begin{array}{l}
u^{i+1}_k=u_k^i+\tau\sum_{j=1}^MC_j^{M}f_j^{M},\\
k=\overline{1,N},i=\overline{0,n-1}\\
u_k^0=u_k^0\\
\end{array}
\right.
$$

Простейшие схемы:

a) Явная схема Эйлера

$$
\left\{
\begin{array}{l}
u^{i+1}_k=u_k^i+\tau f_k(t_i,u_1^i,\ldots,u_N^i),\\
k=\overline{1,N},i=\overline{0,n-1}\\
u_k^0=u_k^0\\
\end{array}
\right.
$$


б) Неявная схема Эйлера
$$
\left\{
\begin{array}{l}
u^{i+1}_k=u_k^i+\tau f_k(t_{i+1},u_1^{i+1},\ldots,u_N^{i+1}),\\
k=\overline{1,N},i=\overline{0,n-1}\\
u_k^0=u_k^0\\
\end{array}
\right.
$$
в) Схема Роте с весами
$$
\left\{
\begin{array}{l}
u^{i+1}_k=u_k^i+\tau ( (1-\sigma) f_k(t_i,u_1^i,\ldots,u_N^i)+\sigma f_k(t_{i+1},u_1^{i+1},\ldots,u_N^{i+1})) ,\\
0\le\sigma\le 1, \quad k=\overline{1,N},i=\overline{0,n-1}\\
u_k^0=u_k^0\\
\end{array}
\right.
$$
с) Схема предиктор-корректор

$$
\left\{
\begin{array}{l}
u^{i+1}_k=u_k^i+\tau ( (1-\sigma) f_k(t_i,u_1^i,\ldots,u_N^i)+\sigma f_k(t_{i+1},u_1^{*},\ldots,u_N^{*})) ,\\
u^{*}_k=u_k^i+\tau f_k(t_i,u_1^i,\ldots,u_N^i),\\
0\le\sigma\le 1, \quad k=\overline{1,N},i=\overline{0,n-1}\\
u_k^0=u_k^0\\
\end{array}
\right.
$$
Устойчивость.

Достаточно рассмотреть линеаризованную систему
$$
\left\{
\begin{array}{l}
 \frac{dz_k}{dt}=\sum_{j=1}^N a_{jk}z_j+f_k(t), \\
 u_k(0)=u_k^0, \quad k=\overline{1,N} \\
\end{array}
\right.
$$
или в векторной форме

$$
\left\{
\begin{array}{l}
 \frac{dz}{dt}=Az+f(t), \\
 u(0)=u^0,  \\
\end{array}
\right.
$$

Если $(Ax,x)>0,\forall x$ и $\lambda=max_i(\lambda_i(A))$ тогда $||z||\le e^{\lambda
t}||u^0||$

а) устойчивость явной схемы Эйлера

$$
\left\{
\begin{array}{l}
 z^{i+1}=z^i-\tau Az^i+\tau f(t_i), \\
 z^0)=z^0, \quad i=\overline{0,n-1} \\
\end{array}
\right.
$$
$$
||E-\tau A||<1
$$


б) устойчивость схемы Роте для $\sigma=1/2$

$$
\left\{
\begin{array}{l}
 z^{i+1}=z^i-\frac \tau 2 (Az^i+Az^{i+1}+\frac \tau 2 (f(t_i)+f(t_{i+1}), \\
 z^0)=z^0, \quad i=\overline{0,n-1} \\
\end{array}
\right.
$$
$$
||(E+\frac \tau 2 A)^{-1}(E-\frac \tau 2 A) ||<1
$$

Каноническая двухслойная разностная схема

$$
\left\{
\begin{array}{l}
B\frac {z^{i+1}-z^i}{\tau}+ Az^i+\varphi_i, \\
 z^0)=z^0, \quad i=\overline{0,n-1}\quad A,B: R_N\to R_N \\
\end{array}
\right.
$$
Устойчивость канонической разностной схемы

Каноническую схему представим в виде для $z=y+u$

$$
\left\{
\begin{array}{l}
B\frac {y^{i+1}-y^i}{\tau}+ y^i, \\
 y^0)=y^0, \quad i=\overline{0,n-1}\quad A,B: R_N\to R_N \\
\end{array}
\right.
$$

$$
\left\{
\begin{array}{l}
B\frac {u^{i+1}-u^i}{\tau}+ Au^i+\varphi_i, \\
 u^0)=0, \quad i=\overline{0,n-1}\quad A,B: R_N\to R_N \\
\end{array}
\right.
$$


Определение. Каноническая схема  устойчива  по начальным данным, если имеет место оценка
$$||y||_{R_{N}}< M_1 ||y_0||_{R_N},$$
где $М_1$- постоянная, независящая от $\tau$

Определение. Каноническая схема  устойчива  по правой части, если имеет место оценка
$$||u||_{R_{N}}< M_2 ||\varphi||_{R_N},$$
где $М_2$- постоянная, независящая от $\tau$

В пространстве $R_N$ где действуют операторы $A,B$ введем скалярное произведение
$(x,y)_{R_N}=(Ax,y)_{R_N}$,  соответственно $||x||=\sqrt(Ax,x)$ - энергетическая норма.

Так как
$$ y_{k+1}=(E-\tau B^{-1} A) y_k$$
тогда каноническая схема устойчива по начальным данным, если

$$ ||S=(E-\tau B^{-1} A)||<1$$

$$ ||y_k||<||y_{k-1}||<\ldots<||y_0||$$

Из определения нормы оператора, условие устойчивости можно записать в эквивалентной форме
$$J_A=||y||^2-||Sy||^2=(Ay,y)-(ASy,Sy)\ge0$$

Теорема о необходимых и достаточных условиях канонической разностной схемы

Если $A=A^*, (Ax,y)=(x,Ay),\forall x,y$    и  $A>0,(Ax,x)>0,\forall x$ существует обратный
оператор $B^{-1}$ тогда для устойчивости канонической разностной схемы по начальным
данным необходимо и достаточно, чтобы $ B>\frac \tau 2 A, (By,y)>\frac \tau 2 (Ay,y)$

Док=во: Убедимся в эквивалентности условия $ B>\frac \tau 2 A, (By,y)>\frac \tau 2
(Ay,y)$ условию $J_A\ge 0$

$ J_A=||y||^2-||Sy||^2=(Ay,y)-(ASy,Sy)=(Ay,y)-(A(E-\tau B^{-1}A)y,(E-\tau
B^{-1}A)y)=2\tau(AB^{-1}Ay,y)-\tau^2 (AB^{-1}Ay,B^{-1}Ay)$ Обозначая $B^{-1}Ay=x\to
Ay=Bx$ имеем $J_A=2\tau(Ax,y)-\tau^2(Ax,x)=2\tau(x,Ay=Bx)-\tau^2(x,Ax)=2\tau
((Bx,x)-\frac \tau 2 (Ax,x))\ge 0$ следовательно выполнено условие устойчивости
$$ ||S=(E-\tau B^{-1} A)||<1$$
(достаточность)

Если схема устойчива то выполнено условие

$$||y_{k+1}||<||y_k||$$ а следовательно и условие
$$ ||S=(E-\tau B^{-1} A)||<1$$
(необходимость)

Теорема очевидна для схемы Эйлера для скалярного уравнения
$$
bu'(t)+au(t)=0,\quad u(0)=u^0$$
$$
b\frac{y_{i+1}-y_i}{\tau}+ay_i=0,\quad y_0=u^0
$$

$$
y_{i+1}=(1-\tau \frac a b )y_i
$$
 устойчивость, если $ |1-\tau \frac a b|<1\to b>\frac \tau 2 a$

а) устойчивость явной схемы Эйлера




$ B=E, \quad A=A^*>0$ из неравенства Коши-Буняковского имеем $
(Ax,x)\le||Ax||||x||\le||A||||x||^2=||A||(x,x)\to A\le ||A||E$
$$
E\ge \frac A {||A||}
$$
$B-\frac 1 2 \tau A=E- \frac \tau 2 A\ge \frac A{||A||} -\frac \tau 2 A=(\frac
1{||A||}-\frac \tau 2)A, A\ge 0 \to $
$$
\frac 1 {||A||}-\frac \tau 2\ge 0,\quad \to\quad \tau<\frac 2{||A||}
$$

б) устойчивость схемы Роте с весами

$B=E+\sigma \tau A$

$B-\frac 1 2 \tau A=E+(\sigma-\frac 1 2)\tau A \ge
 (\frac 1 {||A||}+(\sigma-\frac 1 2 \tau  )A)\ge 0$  $\to$

$$ 1+(\sigma-\frac 1 2)||A||\tau\ge 0$$
схема устойчива для любых $\tau$, если $\sigma\ge \frac 1 2$ и устойчива
условно для $\tau\le\frac 1{(0.5-\sigma)||A||}$   если $\sigma<0.5$

Устойчивость по правой части

Представим выражение для $u_{k+1}$  в форме

$$
u_{k+1}=Su_k+\tau B^{-1}\varphi_k, \quad u_0=0,\quad
$$
$k=0,1,\ldots,\quad S=E-\tau B^{-1}A
$

$||U_{k+1}||\le||S||||u_k||+\tau ||B_{-1}||||\varphi_k||$

$B\ge \frac \tau 2 A$, существует $B^{-1}$ и следовательно $||B^{-1}||$ ограничена
$u_0=0,$

$
||u_n||\le||B^{-1}||\sum_{k=0}^n\tau||\varphi_k||\le||B^{-1}||\max_k||\varphi_k||
$
следовательно схема устойчива и по правой части

Замечание

Для устойчивости достаточно условия

$$||S||\le 1+M\tau$$
где М-постоянная, независящая оти $\tau$

$||u_{k+1}||\le||S||||u_k||\le(1+M\tau)||u_k||
$

$
\le(1+m\tau)^k||u_0||\le e^{Mk\tau}||u_0||\le
e^{MT}||u_0||$



\end{document}
