%\documentstyle{report}
%\documentclass{report }

%\usepackage[cp866]{inputenc}
%\usepackage[cp1251]{inputenc}

%\usepackage[russian]{babel}
%\usepackage[LCY]{fontenc}
%\usepackage{graphicx,mybib,russian}
%\newcommand{\<<}{\lfq}
\documentclass[12pt,a4paper]{article}
%\usepackage[cp866]{inputenc}
\usepackage{pscyr}
\usepackage[cp1251]{inputenc}

\usepackage[russian]{babel}
%\usepackage[LCY]{fontenc}
%\usepackage{graphicx,mybib,russian}
%\newcommand{\<<}{\lfq}
\textheight 22cm \textwidth 16cm \topmargin 0cm \oddsidemargin 0cm \evensidemargin 0cm
%\twocolumn
%\oddsidemargin =-2cm
%\topmargin -3cm
%\textheight=27cm
%\textwidth=17cm
\pagestyle{empty}
\begin{document}
{\footnotesize
\begin{figure}
%\includegraphics[width=2.5in,height=2.5in]{gr7_1.eps}
%\caption{Линии уровня функции $f(x,y)=0.25x^2+y^2$}
\end{figure}
\begin{figure}
%\includegraphics[width=2.5in,height=2.5in]{gr7_2.eps}
%\caption{Линии уровня функции $f(x,y)=0.25x^2+y^2$}
\end{figure}



Теорема. Если $f(x)$  непрерывна вместе с производными $f',f''$ в некотором
замкнутом шаре $S(x_0,r)$  и выполнены условия:

1) в точке $x_\in S(x_0,r)$ существует $(f')^{-1}$ и $||(f')^{-1}||<M_0$.

2) $||f(x_0)||\leq \delta$,

3)$\sum_{k=1}^n|\frac{\partial^2f_i}{\partial x_j\partial x_k})<M_2, \quad
\forall i,j=\overline{1,n},\quad \forall x\in S(x_0,r)$

4) $h=2nM_0^2\delta M_1\leq 1$

5) $ r'=M_0\delta \sum_{k=0}^\infty h^{2^k-1}<r$

Тогда уравнение $f(x)=0$  имеет решение $x^*\in S(x_0,r)$  к которому
сходится процесс Ньютона с начальным приближением $x_0$  и имеет место
оценка

$$
||x^k-x^*||\leq M_0\delta\frac{h^{2^k-1}}{1-h^{2^k}}
$$

Проверять условия теоремы затруднительно и  имеет значение утверждение,
что при приближении к корню системы скорость сходимости квадратична.

На практике очень часто процесс Ньютона заменяют процессом Ньютона-Рафсона

$ x^{k+1}=x^k-( f(x_0)')^{-1} f(x^k) $ , в котором матрицу Якоби обращают один раз
и тем самым уменьшают объем вычислений. Есть и другие модификации.
}

\end{document}
