ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ ПО МЕТОДАМ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ
                     ФИЗИКИ(2-ой  курс РФ)  


          1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ

1.  Каноническая  форма  записи  дифференциальных  уравнений  в   частных 
   производных 2-го порядка с двумя независимыми переменными.
   Характеристические линии.
2.  Классификация уравнений 2-го порядка с n независимыми переменными.
3.  Корректность постановки задачи математической физики. Пример Адамара.
4.  Уравнения Хевисайда. Вывод, преобразования, различные  типы  граничных 
   условий.
5.  Метод бегущих волн решения уравнений гиперболического типа. Формула  
   Даламбера. Решение неоднородной  задачи. Задача о распространении
   краевого режима. Колебания отрезка струны.
6.  Обобщенные функции: определения и основные свойства. Применение
   обобщенных функций в задачах гиперболического типа. Фундаментальное
   решение волнового уравнения, обобщенная задача Коши, вывод формулы
   Даламбера методами теории обобщенных функций
7.  Преобразование Фурье: определения и основные свойства. Применение
   преобразования Фурье для решения задачи Коши для волнового уравнения.
8.  Метод  стоячих   волн   решения   смешанных   задач   для   уравнений 
   гиперболического типа.
9.  Задача Штурма-Лиувилля: определения и основные свойства, теоремы о
   собственных числах и функциях, экстремальные свойства собственных
   чисел. Теорема Стеклова.
10. Метод Фурье в многомерных задачах гиперболического типа. Колебания
   прямоугольной и круглой мембран.
11. Теорема о максимуме и минимуме решения однородного уравнения теплопро-
   водности.  Корректность  постановки  задачи  Дирихле   для   уравнения 
   теплопроводности.
12. Решение   задачи   Коши   для   уравнения   теплопроводности    методом 
   интегрального преобразования Фурье.
13. Решение  смешанной  задачи  для  уравнения  теплопроводности  методом 
   преобразования Лапласа.
14. Решение  смешанной   задачи  о  нагреве  стержня  методом   разделения 
   переменных. Функция Грина краевой задачи.
15. Задача об остывании круглого цилиндра. Уравнения  и  функции  Бесселя: 
   определения и минимум свойств.
16. Решение задачи Коши для уравнения теплопроводности методом разделения
   переменных.
17. Представление решений основных краевых задач для уравнения Пуассона
   с помощью функции Грина.
18. Метод мнимых источников построения функций Грина в эллиптических
   задачах - задачи Дирихле в верхнем п/п и внутри шара.
19. Определение и свойства гармонических функций. Теорема о максимуме и
   минимуме гармонической в области функции. Корректность постановки
   задачи Дирихле для уравнения Пуассона.
20. Метод разделения переменных в эллиптических задачах (на примере 
   задачи Дирихле для уравнения Лапласа в пространстве). Уравнения 
   и функции Лежандра: определения и основные свойства.  Сферические
   и шаровые функции.
21. Потенциалы в эллиптических задачах: объемный, простого и двойного слоев. 
   Гауссов потенциал.
22. Применение потенциалов для сведения краевых задач к интегральным
   уравнениям (задача Дирихле в верхнем полупространстве).


               2. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ


23.  Классификация линейных интегральных уравнений.
24.  Интегральные уравнения с вырожденным ядром.
25.  Существование решения уравнения Фредгольма с малым ядром.
26.  Существование решения уравнения Вольтерра.
27.  Теоремы Фредгольма.
28.  Уравнения с симметричными ядрами. Свойства спектра. Теорема 
    Гильберта-Шмидта.
29.  Сведение  задачи Штурма-Лиувилля к интегральному уравнению с симмет-
    ричным ядром. Теоремы Гильберта. Вывод теоремы Стеклова из теоремы
    Гильберта-Шмидта.




                         ЛИТЕРАТУРА

1. Арсенин В. Я. Методы математической физики и специальные функции.
   Гл. 4,6-9. Изд. 2, М.,1984.
2. Тихонов А. Н.,Самарский А. А.  Уравнения  математической  физики.  Гл. 
   2 ;3,  гл. 3 ;1-3, гл. 4 ;1-5. Изд. 3, М., 1966.